初中數(shù)學(xué)如何作垂線題目，初中數(shù)學(xué)中，如何正確作出垂線并解答相關(guān)題目？

【來源：易教網(wǎng) 更新時(shí)間：2025-04-30】

初中數(shù)學(xué)垂線專題復(fù)習(xí)指南：從基礎(chǔ)到實(shí)戰(zhàn)的系統(tǒng)解析

一、垂線基礎(chǔ)知識與核心性質(zhì)

在初中數(shù)學(xué)中，垂線是幾何學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，尤其在坐標(biāo)系、三角形、圖形變換等模塊中應(yīng)用廣泛。以下從定義、公式和性質(zhì)三個(gè)維度展開講解。

1.1 垂線的定義與判定

- 定義：在同一平面內(nèi)，若兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角（90°），則這兩條直線互相垂直，其中一條直線稱為另一條直線的垂線。

- 判定方法：

- 坐標(biāo)系中，若兩直線斜率乘積為-1，則二者垂直。

- 幾何圖形中，若兩條線段相交且形成直角，則為垂線。

1.2 點(diǎn)到直線的距離公式

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\( P(x_0, y_0) \)到直線\( l: y = kx + b \)的距離公式為：

\[d = \frac{|kx_0 - y_0 + b|}{\sqrt{k^2 + 1}}\]

應(yīng)用示例：求點(diǎn)\( A(2, 3) \)到直線\( y = 2x + 1 \)的距離：

\[d = \frac{|2 \times 2 - 3 + 1|}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.894\]

1.3 垂線的六大核心性質(zhì)

- 唯一性：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

- 傳遞性：若\( a \perp b \)且\( b \perp c \)，則\( a \parallel c \)（注意：此處原資料中的傳遞性描述有誤，應(yīng)為平行而非垂直）。

- 鄰補(bǔ)角均分線垂直：互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的角平分線互相垂直。

- 直角三角形中的垂線特性：斜邊上的高將三角形分為兩個(gè)相似三角形，且滿足\( CD^2 = AD \times BD \)（\( CD \)為高，\( AD \)、\( BD \)為垂足分得的線段）。

- 坐標(biāo)系中的垂線斜率關(guān)系：若直線\( l_1 \)斜率為\( k \)，則其垂線\( l_2 \)的斜率為\( -1/k \)。

- 垂線段最短定理：從直線外一點(diǎn)到該直線的所有連線中，垂線段最短。

二、垂線題目的解題策略與步驟

垂線題目常以選擇題、填空題、解答題形式出現(xiàn)，解題需結(jié)合幾何性質(zhì)與代數(shù)計(jì)算。以下是通用解題步驟：

2.1 解題四步法

1. 審題定位：明確題目要求（如求方程、長度、坐標(biāo)等）。

2. 性質(zhì)調(diào)用：根據(jù)題意選擇垂線性質(zhì)或公式（如點(diǎn)到直線距離、斜率關(guān)系等）。

3. 代數(shù)計(jì)算：通過方程聯(lián)立、代數(shù)變形或幾何定理推導(dǎo)答案。

4. 驗(yàn)證檢查：代入原條件或用幾何意義驗(yàn)證結(jié)果合理性。

2.2 典型題型解析

例1：直線方程求解（選擇題）

題目：過點(diǎn)\( A(2,3) \)且垂直于直線\( y = 2x \)的直線方程是（ ）。

選項(xiàng)：A. \( y = 2x - 1 \)；B. \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \)；C. \( y = -2x + 7 \)

解析：

- 直線\( y = 2x \)的斜率為\( 2 \)，其垂線斜率為\( -\frac{1}{2} \)。

- 代入點(diǎn)斜式：\( y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 2) \)，化簡得\( y = -\frac{1}{2}x + 4 \)，選B。

例2：幾何計(jì)算（填空題）

題目：在直角三角形\( \triangle ABC \)中，\( \angle C = 90° \)，\( AC = 6 \)，\( BC = 8 \)，求斜邊\( AB \)上的高\(yùn)( CD \)長度。

解析：

- 由勾股定理得\( AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \)。

- 利用面積法：\( \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CD \)，解得\( CD = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8 \)（原資料答案為7.5，此處存在計(jì)算錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為4.8，可能原題數(shù)據(jù)有誤）。

例3：坐標(biāo)交點(diǎn)求解（解答題）

題目：求直線\( l_1: y = 2x + 1 \)與\( l_2: y = -\frac{1}{2}x + 3 \)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

解析：

- 聯(lián)立方程：

\[ \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -\frac{1}{2}x + 3 \end{cases} \]

- 代入消元得\( 2x + 1 = -\frac{1}{2}x + 3 \)，解得\( x = \frac{4}{5} \)，代入得\( y = \frac{13}{5} \)，故交點(diǎn)為\( \left( \frac{4}{5}, \frac{13}{5} \right) \)（原資料答案\( \frac{2}{5}, \frac{9}{5} \)計(jì)算錯(cuò)誤，此處修正）。

三、垂線應(yīng)用拓展與常見誤區(qū)

3.1 垂線在幾何中的綜合應(yīng)用

- 坐標(biāo)系中的垂線：可利用斜率關(guān)系快速求解直線方程，例如求點(diǎn)到直線的垂線方程。

- 三角形中的高與面積：通過垂線計(jì)算面積或證明相似性，如例2中的直角三角形特性。

3.2 典型錯(cuò)誤分析

- 斜率計(jì)算錯(cuò)誤：忽略垂線斜率需取負(fù)倒數(shù)，如誤將\( k = 2 \)的垂線斜率算為\( 1/2 \)。

- 代數(shù)符號混淆：聯(lián)立方程時(shí)漏寫負(fù)號或運(yùn)算順序錯(cuò)誤，導(dǎo)致坐標(biāo)結(jié)果偏差。

- 性質(zhì)誤用：例如將垂線傳遞性錯(cuò)誤理解為\( a \perp b \)且\( b \perp c \Rightarrow a \perp c \)，實(shí)際應(yīng)為\( a \parallel c \)。

四、垂線題目分類與解題思路速查表

**題型**	**解題思路**	**示例**
**方程求解**	根據(jù)垂線斜率關(guān)系列方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)。	例1：求垂直直線的方程。
**幾何計(jì)算**	利用相似三角形、勾股定理或面積法，結(jié)合垂線特性推導(dǎo)長度。	例2：求直角三角形的高。
**坐標(biāo)交點(diǎn)**	聯(lián)立兩條直線方程，解方程組獲得交點(diǎn)坐標(biāo)。	例3：求兩直線交點(diǎn)。
**最短距離**	應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式，或通過作垂線構(gòu)造直角三角形。	求點(diǎn)到直線的最短距離。

五、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)與答案解析

練習(xí)1：過點(diǎn)\( P(-1, 2) \)作直線\( y = -3x + 5 \)的垂線，求該垂線方程。

答案：\( y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \)

解析：垂線斜率為\( 1/3 \)，代入點(diǎn)斜式得方程。

練習(xí)2：在\( \triangle DEF \)中，\( \angle D = 90° \)，\( DE = 5 \)，\( DF = 12 \)，求\( \triangle DEF \)斜邊上的高。

答案：\( \frac{60}{13} \approx 4.615 \)

解析：斜邊\( EF = 13 \)，面積法得高\(yùn)( h = \frac{DE \times DF}{EF} = \frac{60}{13} \)。